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运算放大器

稍微庆祝一下我找到了失踪了两年的笔记本 🎉️，这篇笔记就是从我的这个笔记本上扒下来的。

这是一个运算放大器，它是一种模电的设备。VS+ 和 VS- 是运算放大器的电源接口，实际应用时会用到，但是在制作原理图时为了方便常常会省略画出。V+ 和 V- 之间是几乎绝缘的，运算放大器最直接的作用就是感知 V+ 和 V- 之间的电压差，然后放大。放得非常大：

VOUT={a(V+−V−),a(V+−V−)<VSVS,a(V+−V−)≥VSV_{OUT} = \begin{cases} a (V_+ - V_-), a(V_+ - V_-) \lt V_S\\\\ V_S, a(V_+ - V_-) \geq V_S \end{cases}

其中 a 就是放大倍数，我们常常只知道这是一个很大的数，它的数值可能是几百万，但我们常常不知道他的具体值。不同厂商生成的不同型号的运算放大器的放大倍数会有不同，甚至于同一个运算放大器的放大倍数也极其不稳定、易受温度影响。

那么如何减少运放受温度的影响并控制它的放大倍数呢？

同相放大器电路

（这里我们省略了电源接口，并假设电源可以提供足够高的电压。）

首先运算放大器会将 V+ 和 V- 之间的电压放大：

VOUT=a(V+−V−)V_{OUT} = a (V_+ - V_-)

其中 V+ 就是 VIN。而 V- 接在 Rf 和 Rg 分压的 VOUT 和 GND 之间，所以：

V−=VOUT⋅RgRf+RgV_- = V_{OUT} \cdot \frac{R_g}{R_f + R_g}

代入：

VOUT=a(VIN−VOUT⋅RgRf+Rg)V_{OUT} = a (V_{IN} - \frac{V_{OUT} \cdot R_g}{R_f + R_g})

左边是 VOUT，右边也有 VOUT，我们本能地变形一下式子：

VOUT(1+a⋅RgRf+Rg)=a⋅VINV_{OUT}(1 + \frac{a \cdot R_g}{R_f + R_g}) = a \cdot V_{IN}
VOUT=a⋅VIN1+a⋅RgRf+RgV_{OUT} = \frac{a \cdot V_{IN}}{1 + \frac{a \cdot R_g}{R_f + R_g}}

因为 a 是个很大的数，所以 a⋅RgRf+Rg\frac{a \cdot R_g}{R_f + R_g} 也一定是个很大的数。试想 1 块钱加上几百万，那么这一块钱是完全可以忽略掉的。这样我们化简式子就变得很方便了：

VOUT=a⋅VINa⋅RgRf+Rg=VINRgRf+Rg=VIN⋅Rf+RgRgV_{OUT} = \frac{a \cdot V_{IN}}{\frac{a \cdot R_g}{R_f + R_g}} = \frac{V_{IN}}{\frac{R_g}{R_f + R_g}} = V_{IN} \cdot \frac{R_f + R_g}{R_g}

很幸运，最后化简的结果只包含 VIN 这一个变量，剩下的常量 Rf 和 Rg 都是我们可以控制的。比如我想让输出的电压是输入电压的十倍，我只需要让 Rf = 9kΩ，让 Rg = 1kΩ 就可以做到。

是不是很神奇，两个小小的电阻怎么就让这样极其不稳定的运算放大器乖乖听话的？我们结合电路，重新审视一下这个式子：

VOUT=a(VIN−VOUT⋅RgRf+Rg)V_{OUT} = a (V_{IN} - \frac{V_{OUT} \cdot R_g}{R_f + R_g})

我们可以看到，输出的电压的一部分被当作输入电压，和真正的 VIN 一起在调节着 VOUT。当 a 因为温度升高而增大时，如果 VOUT 跟着增大，那么 V- 的输入也会增大，V+ 和 V- 之间的差值此时就会减小。最后又作用到 VOUT 上，迫使 VOUT 跟着减小。这其实就是负反馈调节，当一个因素偏离正常值时，就会引发其他的因素将它拉回正轨。

除了同相放大器电路以外还有一些其他的放大器电路：

反相放大器电路

VOUT=−RfRin⋅VINV_{OUT} = - \frac{R_f}{R_{in}} \cdot V_{IN}

后记

分享一下 MIT 的电路与电子学公开课 av5094941，虽然是很古老的视频了，但还是很有趣的。

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